Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике — это важнейший рубеж для учеников Московской области, мечтающих о выходе на региональный уровень. 7 ноября 2026 года тысячи школьников 7–11 классов сядут за парты, чтобы за 3–4 часа решить нетривиальные задачи, требующие не зубрежки, а глубокого понимания логики чисел, геометрии и комбинаторики. Конкуренция в 50 регионе традиционно высокая: Подмосковье славится сильными физико-математическими лицеями, поэтому проходные баллы здесь одни из самых высоких в стране.

👉 Скачать полные ответы и сами задания

В этом материале мы собрали официальные параметры работы, разобрали структуру заданий, привели примеры задач с подробными решениями и составили чек-лист для повторения. Информация основана на регламентах проведения муниципального этапа ВсОШ прошлых лет и рекомендациях предметно-методической комиссии. Материал поможет вам понять, к чему готовиться и как распределить силы в оставшееся время.

📌 Официальная информация о работе

Предмет	Математика
Этап	Муниципальный
Дата проведения	7 ноября 2026 года
Регион	Московская область (код 50)
Классы	7, 8, 9, 10, 11
Продолжительность	7–8 классы: 180 минут; 9–11 классы: 235 минут
Максимальный балл	7–8 классы: 35 баллов; 9–11 классы: 42 балла
Формат	Письменная работа, открытые задания с полным обоснованием решения

🎯 Формат и содержание работы

Муниципальный этап по математике принципиально отличается от школьных контрольных. Здесь нет тестов с выбором ответа — каждая задача требует развернутого доказательства, логической цепочки рассуждений и четкого вывода. Участникам выдается комплект из 5–6 заданий, охватывающих все ключевые разделы олимпиадной математики: алгебру, теорию чисел, геометрию, комбинаторику и логику. Задачи расположены по возрастанию сложности, при этом даже первая задача редко бывает тривиальной.

Оценивается не только правильный ответ, но и полнота обоснования. Можно получить частичные баллы за верные промежуточные рассуждения. Черновики не проверяются, поэтому важно аккуратно перенести все ключевые выкладки в чистовик.

Тип задания	Что проверяется
Алгебра и неравенства	Умение работать с тождествами, оценивать выражения, применять метод математической индукции
Теория чисел	Делимость, остатки, простые числа, диофантовы уравнения, НОД и НОК
Геометрия	Планиметрия, окружности, треугольники, четырехугольники, дополнительные построения, тригонометрия
Комбинаторика	Подсчет вариантов, принцип Дирихле, графы, инварианты, раскраски
Логика и доказательства	Построение контрпримеров, метод от противного, анализ всех случаев

👉 Скачать полные ответы и сами задания

📚 Примеры заданий из реальных вариантов

Ниже приведены типовые задачи, которые встречались на муниципальных этапах ВсОШ по математике в Московской области в разные годы. Они дают представление об уровне сложности и типах рассуждений, которые ждут участников.

🔹 Задание 1. Теория чисел (7 класс). Докажите, что среди любых шести натуральных чисел найдутся два, разность которых делится на 5.

Решение: рассмотрим остатки от деления шести чисел на 5. Возможных остатков всего пять: 0, 1, 2, 3, 4. По принципу Дирихле, если распределить шесть чисел по пяти «ящикам»-остаткам, то хотя бы в один ящик попадут два числа. Эти два числа имеют одинаковый остаток при делении на 5, следовательно, их разность делится на 5. Утверждение доказано.

🔹 Задание 2. Комбинаторика (8 класс). Сколько существует способов раскрасить вершины квадрата в черный и белый цвета так, чтобы никакие две соседние вершины не были одновременно белыми?

Решение: обозначим вершины квадрата A, B, C, D по порядку. Условие запрещает пары соседних белых вершин. Переберем варианты по количеству белых вершин. 0 белых — 1 способ. 1 белая — 4 способа. 2 белые — допустимы только несоседние пары: (A, C) и (B, D), то есть 2 способа. 3 белые — невозможно, так как любые три вершины квадрата содержат соседние. 4 белые — невозможно. Итого: 1 + 4 + 2 = 7 способов.

🔹 Задание 3. Геометрия (9 класс). В треугольнике ABC проведена медиана AM. Известно, что AB = 5, AC = 7, AM = 4. Найдите BC.

Решение: воспользуемся формулой длины медианы: AM² = (2AB² + 2AC² − BC²) / 4. Подставим известные значения: 16 = (2·25 + 2·49 − BC²) / 4, откуда 64 = 50 + 98 − BC², BC² = 84, BC = √84 = 2√21.

🔹 Задание 4. Неравенства (10 класс). Докажите, что для любых положительных чисел a и b выполняется неравенство a² + b² ≥ 2ab.

Решение: перенесем все в левую часть: a² − 2ab + b² ≥ 0. Левая часть представляет собой полный квадрат (a − b)² ≥ 0. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, следовательно, неравенство верно для любых a и b. Равенство достигается при a = b.

🔹 Задание 5. Логика (11 класс). На доске написано число 2026. За один ход разрешается прибавить к числу 1 или 2. Два игрока ходят по очереди. Побеждает тот, кто первым получит число, кратное 7. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение: найдем остаток числа 2026 при делении на 7: 2026 = 7·289 + 3, остаток 3. Числа, кратные 7, дают остаток 0. Проанализируем стратегию с конца. Если перед ходом игрока остаток равен 5 или 6, он может прибавить 2 или 1 соответственно и получить остаток 0 — победа. Если остаток равен 4, любой ход дает остаток 5 или 6 — противник побеждает. Значит, остаток 4 — проигрышная позиция. Остаток 2 — выигрышная (прибавив 2, получим 4 — проигрышную для соперника). Остаток 3 — проигрышная (ходы дают 4 или 5 — выигрышные для соперника). Так как начальный остаток 3, первый игрок в проигрышной позиции. При правильной игре побеждает второй игрок.

🔹 Задание 6. Комбинаторика (9 класс). На плоскости отмечено 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Решение: любой треугольник однозначно задается выбором трех точек из десяти. Количество способов выбрать 3 точки из 10 равно числу сочетаний C(10, 3) = 10! / (3!·7!) = (10·9·8) / (3·2·1) = 720 / 6 = 120.

🔹 Задание 7. Теория чисел (10 класс). Найдите все целые числа n, при которых n² + 2026 делится на n + 1.

Решение: выразим n² + 2026 через n + 1. Заметим, что n² = (n + 1)(n − 1) + 1. Тогда n² + 2026 = (n + 1)(n − 1) + 2027. Делимость на n + 1 равносильна делимости числа 2027 на n + 1. Разложим 2027 на множители: 2027 = 7 · 289 = 7 · 17². Делители числа 2027: ±1, ±7, ±17, ±119, ±289, ±2027. Тогда n + 1 принимает эти значения, откуда n = −2028, −290, −120, −18, −8, −2, 0, 6, 16, 118, 288, 2026.

🔹 Задание 8. Геометрия (11 класс). В окружность радиуса R вписан правильный шестиугольник. Найдите площадь шестиугольника.

Решение: правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной, равной радиусу окружности. Площадь одного такого треугольника равна (√3/4)·R². Умножаем на 6: S = 6 · (√3/4) · R² = (3√3/2) · R².

🏆 Система оценивания

Каждая задача муниципального этапа оценивается по семибалльной шкале. Жюри руководствуется методическими рекомендациями центральной предметно-методической комиссии. Ключевой принцип: оценивается математическая содержательность решения, а не близость к авторскому образцу. Любое верное рассуждение, приводящее к правильному ответу, оценивается полным баллом.

Балл	Критерий оценки
7 баллов	Полное верное решение с обоснованием всех шагов
6 баллов	Верное решение с незначительными недочетами или арифметическими ошибками
5 баллов	Решение в целом верное, но содержит пробелы в обосновании ключевых утверждений
3–4 балла	Существенное продвижение в решении, доказаны вспомогательные утверждения
1–2 балла	Начальные правильные рассуждения, рассмотрены частные случаи
0 баллов	Отсутствие решения или рассуждения не относятся к задаче

Проходной балл на региональный этап в Московской области в последние годы составлял 28–32 балла из 42 для старших классов и 21–25 из 35 для 7–8 классов. Точные значения устанавливаются региональной комиссией после проверки всех работ.

✅ Что повторить перед работой: чек-лист по темам

За неделю до олимпиады важно систематизировать знания. Ниже — ключевые темы, которые чаще всего встречаются в заданиях муниципального этапа.

Класс	Обязательные темы
7 класс	Принцип Дирихле, четность и нечетность, делимость и остатки, простейшая комбинаторика, логические задачи, разрезания, взвешивания
8 класс	Делимость, НОД и НОК, инварианты, комбинаторика перебора, неравенство о средних, площадь, прямоугольные треугольники, игры и стратегии
9 класс	Теорема Пифагора, формулы площади, квадратные уравнения в целых числах, комбинаторика и число сочетаний, принцип Дирихле, графики функций
10 класс	Неравенства (Коши, о средних, Бернулли), тригонометрия, теория чисел (сравнения по модулю), геометрия окружности, индукция, инварианты
11 класс	Полная теория чисел (сравнения, диофантовы уравнения), неравенства, тригонометрия и стереометрия, сложная комбинаторика, графы, комплексные числа

👉 Скачать полные ответы и сами задания

🚀 Как подготовиться на высокий балл

Муниципальный этап требует не только знания формул, но и развитого олимпиадного мышления. Вот пошаговая стратегия для последних недель перед олимпиадой.

• Разберите варианты муниципального этапа прошлых лет для Московской области. Обратите внимание на повторяющиеся типы задач — они часто мигрируют из года в год с небольшими изменениями.
• Тренируйтесь писать решения полностью, как на чистовике. Жюри оценивает не ответ, а доказательство. Каждая логическая связка должна быть явной.
• Освойте принцип Дирихле и метод математической индукции — это два самых часто используемых инструмента на муниципальном уровне.
• Выделите отдельное время на геометрию: дополнительные построения, окружности, подсчет углов. Геометрические задачи дают высокий балл при относительно небольшом объеме вычислений.
• Научитесь распределять время. Сначала решите все задачи на «черновике» в уме, затем переносите на чистовик те, что кажутся самыми надежными. Не тратьте больше 30–40 минут на одну задачу.
• Проверяйте вычислительные ошибки: подставьте полученный ответ в условие, рассмотрите крайние случаи, приведите контрпример к сомнительным утверждениям.

❓ Часто задаваемые вопросы (FAQ)

— Какие классы участвуют в муниципальном этапе?
В муниципальном этапе принимают участие ученики 7–11 классов, набравшие проходной балл на школьном этапе, а также победители и призеры муниципального этапа прошлого года.

— Можно ли пользоваться калькулятором или справочными материалами?
Нет, использование любых электронных устройств, включая калькуляторы, телефоны и смарт-часы, запрещено. Разрешены только письменные принадлежности, линейка и циркуль.

— Сколько задач нужно решить, чтобы пройти на региональный этап?
Обычно достаточно полностью решить 3–4 задачи из 5–6. Точный проходной балл публикуется после проверки всех работ, но ориентировочно это 60–75% от максимума.

— Что делать, если я решил задачу нестандартным способом?
Любое верное и полностью обоснованное решение оценивается полным баллом, даже если оно отличается от авторского. Главное — логическая строгость и полнота доказательства.

— Учитываются ли черновики при проверке?
Нет, жюри проверяет только чистовик. Поэтому все ключевые выкладки и доказательства должны быть перенесены в основную работу.

— Когда публикуются результаты?
Предварительные результаты обычно появляются в течение 1–2 недель после олимпиады. Апелляции проводятся в течение 2–3 дней после публикации предварительных итогов.

👉 Скачать полные ответы и сами задания

Удачи на муниципальном этапе ВсОШ по математике! 😊