Реальные задания и ответы школьного этапа Сириус ВсОШ по предмету Математика. Регион: Группа 1. Олимпиада проходит для учеников 10 класса. Мы собрали для Вас каждое задание в одном месте и разобрали его, чтобы Вам не приходилось искать где-то ещё! Представленные материалы предназначены для проверки знаний, разбора ошибок и подготовки к следующим этапам олимпиады 2026-2027 учебного года.
К группе 1 относятся регионы: Архангельская область, Волгоградская область, Вологодская область, город Севастополь, Донецкая Народная Республика, Запорожская область, Кабардино-Балкарская Республика, Карачаево-Черкесская Республика, Краснодарский край, Луганская Народная Республика, Мурманская область, Новгородская область, Псковская область, Республика Адыгея, Республика Дагестан, Республика Калмыкия, Республика Коми, Республика Крым, Республика Северная Осетия — Алания, Ростовская область, Ставропольский край, Херсонская область, Чеченская Республика.
Задание 1
Поверхность куба со стороной n покрасили белой краской, а после разрезали на n³ маленьких кубиков. Чему равно n, если суммарно белым покрашена ровно пятая часть всех граней маленьких кубиков?
Задание 2
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: (m + n)(k + l)(p + q) = 1414?
Задание 3
Из трёхзначного числа вычли учетверённую сумму цифр. Чему может быть равна полученная разность?
66
123
445
570
636
924
Задание 4
AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 4AE = 3EB.
Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 133.
Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 133.
Задание 5
Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 2, 3 или 8 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока?
53
54
55
56
57
58
Задание 6
Рассмотрим последовательность натуральных чисел 1, 2, …, 61, 62. На каждом шаге будем вычёркивать числа, находящиеся на местах с номерами 1, 4, 7, … (шаг равен 3). Какое число останется в самом конце? Например, если изначально были числа 1, 2, 3, 4, то после первого шага останутся 2, 3; после второго — 3.
Задание 7
Пусть точка K — середина стороны AD квадрата ABCD, точка L лежит на стороне AB, причём AL : LB = 1 : 3. Отрезки CL и BK пересекаются в точке M.
Найдите произведение LM · MC, если сторона квадрата равна 4.
Найдите произведение LM · MC, если сторона квадрата равна 4.
Задание 8
Пусть A_n = aa…a, то есть число, состоящее из n цифр a, где a ≠ 0. Аналогично B_n = bb…b и C_2n = cc…c, где b ≠ 0 и c ≠ 0. Какие значения может принимать a + b + c, для которых существует хотя бы два таких значения n, что C_2n — B_n = 9A_n²?
Задание 9
Поверхность куба со стороной n покрасили белой краской, а после разрезали на n³ маленьких кубиков. Чему равно n, если суммарно белым покрашена ровно седьмая часть всех граней маленьких кубиков?
Задание 10
Из трёхзначного числа вычли учетверённую сумму цифр. Чему может быть равна полученная разность?
66
159
243
524
663
927
Задание 11
AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 2AE = EB.
Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 138.
Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 138.
Задание 12
Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 2, 5 или 9 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока?
62
63
64
65
66
67
Задание 13
Пусть A_n = aa…a, то есть число, состоящее из n цифр a, где a ≠ 0. Аналогично B_n = bb…b и C_2n = cc…c, где b ≠ 0 и c ≠ 0. Какие значения может принимать a + b + c, для которых существует хотя бы два таких значения n, что C_2n — 2B_n = 2A_n²?
Задание 14
Поверхность куба со стороной n покрасили белой краской, а после разрезали на n³ маленьких кубиков. Чему равно n, если суммарно белым покрашена ровно восьмая часть всех граней маленьких кубиков?
Задание 15
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: (m + n)(k + l)(p + q) = 2222?
Задание 16
AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 3AE = 2EB.
Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 135.
Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 135.
Задание 17
Рассмотрим последовательность натуральных чисел 1, 2, …, 35, 36. На каждом шаге будем вычёркивать числа, находящиеся на местах с номерами 1, 5, 9, … (шаг равен 4). Какое число останется в самом конце? Например, если изначально были числа 1, 2, 3, 4, 5, то после первого шага останутся 2, 3, 4; после второго — 3, 4; после третьего — 4.
Задание 18
Пусть точка K — середина стороны CD квадрата ABCD, точка L лежит на стороне AD, причём DL : LA = 1 : 3. Отрезки BL и AK пересекаются в точке M.
Найдите произведение LM · MB, если сторона квадрата равна 12.
Найдите произведение LM · MB, если сторона квадрата равна 12.
Задание 19
Из трёхзначного числа вычли учетверённую сумму цифр. Чему может быть равна полученная разность?
60
309
450
476
564
921
Задание 20
Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 3, 6 или 8 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока?
83
84
85
86
87
88
Задание 21
Рассмотрим последовательность натуральных чисел 1, 2, …, 35, 36. На каждом шаге будем вычёркивать числа, находящиеся на местах с номерами 1, 5, 9, … (шаг равен 4). Какое число останется в самом конце? Например, если изначально были числа 1, 2, 3, 4, 5, то после первого шага останутся 2, 3, 4; после второго — 3, 4; после третьего — 4.
Задание 22
Пусть точка K — середина стороны BC квадрата ABCD, точка L лежит на стороне CD, причём CL : LD = 1 : 3. Отрезки AL и DK пересекаются в точке M.
Найдите произведение LM · MA, если сторона квадрата равна 8.
Найдите произведение LM · MA, если сторона квадрата равна 8.
Задание 23
Пусть A_n = aa…a, то есть число, состоящее из n цифр a, где a ≠ 0. Аналогично B_n = bb…b и C_2n = cc…c, где b ≠ 0 и c ≠ 0. Какие значения может принимать a + b + c, для которых существует хотя бы два таких значения n, что 8C_2n — 16B_n = 9A_n²?
Задание 24
Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 4, 6 или 9 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока?
74
75
76
77
78
79
Задание 25
Пусть точка K — середина стороны AB квадрата ABCD, точка L лежит на стороне BC, причём BL : LC = 1 : 3. Отрезки DL и CK пересекаются в точке M.
Найдите произведение LM · MD, если сторона квадрата равна 6.
Найдите произведение LM · MD, если сторона квадрата равна 6.
Задание 26
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: (m + n)(k + l)(p + q) = 606?
Задание 27
AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 5AE = 3EB.
Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 132.
Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 132.
Задание 28
Рассмотрим последовательность натуральных чисел 1, 2, …, 92, 93. На каждом шаге будем вычёркивать числа, находящиеся на местах с номерами 1, 4, 7, … (шаг равен 3). Какое число останется в самом конце? Например, если изначально были числа 1, 2, 3, 4, то после первого шага останутся 2, 3; после второго — 3.
