Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 154 штрафных броска на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 1/4 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 2/7 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?

Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
1
2
5
7
12
14

На плоскости расположены 18 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.

Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.

Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.

В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ω_{i+1} касается ω_i для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за A_i точку касания окружности ω_i со стороной OA.

Найдите (A₁A₂ · A₃A₄) / (A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 3 и 2523 соответственно.

Вася случайным образом выбирает число n из множества {241; 242; …; 250} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {323; 324; …; 332} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).

С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.

С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.

Найдите количество способов разрезать прямоугольник 4 × 13 на прямоугольники 1 × 4 и квадраты 4 × 4. Фигуры можно поворачивать.

Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 361 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 209. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску.

Чему равно наибольшее число, написанное на доске?

В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD.

Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = 5, AB = 11, AC = 12.

Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 132 штрафных броска на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 2/5 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 3/4 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?

На плоскости расположены 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.

Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.

Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.

В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ω_{i+1} касается ω_i для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за A_i точку касания окружности ω_i со стороной OA.

Найдите (A₁A₂ · A₃A₄) / (A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 2 и 1922 соответственно.

Вася случайным образом выбирает число n из множества {120; 121; …; 129} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {221; 222; …; 230} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).

С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.

С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.

Найдите количество способов разрезать прямоугольник 3 × 10 на прямоугольники 1 × 3 и квадраты 3 × 3. Фигуры можно поворачивать.

В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD.

Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = 12, AB = 15, AC = 13.

Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
1
2
5
10
11
16

В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ω_{i+1} касается ω_i для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за A_i точку касания окружности ω_i со стороной OA.

Найдите (A₁A₂ · A₃A₄) / (A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 3 и 2187 соответственно.

Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 253 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 575. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску.

Чему равно наибольшее число, написанное на доске?

В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD.

Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = 7, AB = 8, AC = 9.

Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 105 штрафных бросков на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 1/3 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 3/5 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?

Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
1
2
7
10
14
17

На плоскости расположены 22 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.

Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.

Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.

Вася случайным образом выбирает число n из множества {123; 124; …; 132} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {622; 623; …; 631} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).

С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.

С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.

Найдите количество способов разрезать прямоугольник 3 × 11 на прямоугольники 1 × 3 и квадраты 3 × 3. Фигуры можно поворачивать.

Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 135 штрафных бросков на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 2/5 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 2/3 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?

На плоскости расположены 24 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.

Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.

Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.

Найдите количество способов разрезать прямоугольник 4 × 14 на прямоугольники 1 × 4 и квадраты 4 × 4. Фигуры можно поворачивать.

В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ω_{i+1} касается ω_i для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за A_i точку касания окружности ω_i со стороной OA.

Найдите (A₁A₂ · A₃A₄) / (A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 2 и 2178 соответственно.

Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 190 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 323. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску.

Чему равно наибольшее число, написанное на доске?

В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD.

Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = 5, AB = 8, AC = 9.

Вася случайным образом выбирает число n из множества {250; 251; …; 259} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {422; 423; …; 431} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).

С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.

С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.

Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 289 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 119. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску.

Чему равно наибольшее число, написанное на доске?

Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
1
2
8
9
16
17