Реальные задания и ответы школьного этапа Сириус ВсОШ по предмету Математика. Регион: Группа 4. Олимпиада проходит для учеников 11 класса. Мы собрали для Вас каждое задание в одном месте и разобрали его, чтобы Вам не приходилось искать где-то ещё! Представленные материалы предназначены для проверки знаний, разбора ошибок и подготовки к следующим этапам олимпиады 2026-2027 учебного года.
К группе 4 относятся регионы: Алтайский край, Амурская область, Еврейская автономная область, Забайкальский край, Иркутская область, Камчатский край, Кемеровская область — Кузбасс, Красноярский край, Магаданская область, Новосибирская область, Приморский край, Республика Алтай, Республика Бурятия, Республика Саха (Якутия), Республика Тыва, Республика Хакасия, Сахалинская область, Томская область, Хабаровский край, Чукотский автономный округ.
Задание 1
В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 16 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3.5, а если поставит 8 пятёрок, то средний балл повысится до 4.5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?
Задание 2
Решите в целых числах уравнение
x + 1 / (y + 1/z) = 14/5.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
x + 1 / (y + 1/z) = 14/5.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
Задание 3
В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 45 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 4 минуты позже Пети. В итоге они встретились через 17 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
Задание 4
Сколькими способами отрезок длины 37 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?
Задание 5
Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел ab, bc, cd, da — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 31. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?
Задание 6
Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² — px + c = 0, bx² — qx + d = 0, cx² — rx + a = 0, dx² — tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 3, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 7/6.
Найдите наименьший из этих восьми корней.
Найдите наименьший из этих восьми корней.
Задание 7
В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 11 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3.5, а если поставит 13 пятёрок, то средний балл повысится до 4.5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?
Задание 8
Решите в целых числах уравнение
x + 1 / (y + 1/z) = 17/6.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
x + 1 / (y + 1/z) = 17/6.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
Задание 9
Сколькими способами отрезок длины 49 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?
Задание 10
Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел ab, bc, cd, da — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 30. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?
Задание 11
Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 4.
Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 16, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 40.
Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 16, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 40.
Задание 12
Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 3a и 4a (полностью), вернувшись в исходную позицию.
Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?
Задание 13
В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 42 минуты (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 3 минуты позже Пети. В итоге они встретились через 12 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
Задание 14
Сколькими способами отрезок длины 53 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?
Задание 15
Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² — px + c = 0, bx² — qx + d = 0, cx² — rx + a = 0, dx² — tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 4, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 13/12.
Найдите наименьший из этих восьми корней.
Найдите наименьший из этих восьми корней.
Задание 16
Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 16.
Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 64, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 136.
Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 64, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 136.
Задание 17
Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 8a и 15a (полностью), вернувшись в исходную позицию.
Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?
Задание 18
Решите в целых числах уравнение
x + 1 / (y + 1/z) = 11/4.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
x + 1 / (y + 1/z) = 11/4.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
Задание 19
В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 20 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 6 минут позже Пети. В итоге они встретились через 18 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
Задание 20
Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² — px + c = 0, bx² — qx + d = 0, cx² — rx + a = 0, dx² — tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 6, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 31/30.
Найдите наименьший из этих восьми корней.
Найдите наименьший из этих восьми корней.
Задание 21
В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 14 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3.5, а если поставит 10 пятёрок, то средний балл повысится до 4.5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?
Задание 22
Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² — px + c = 0, bx² — qx + d = 0, cx² — rx + a = 0, dx² — tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 5, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 21/20.
Найдите наименьший из этих восьми корней.
Найдите наименьший из этих восьми корней.
Задание 23
Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 25.
Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 100, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 208.
Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 100, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 208.
Задание 24
Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 35a и 12a (полностью), вернувшись в исходную позицию.
Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?
Задание 25
Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел ab, bc, cd, da — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 29. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?
Замечание. Запись xy обозначает двузначное число, в котором x — количество десятков, y — количество единиц.
Замечание. Запись xy обозначает двузначное число, в котором x — количество десятков, y — количество единиц.
Задание 26
Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 5a и 12a (полностью), вернувшись в исходную позицию.
Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?
Задание 27
Решите в целых числах уравнение
x + 1 / (y + 1/z) = 8/3.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
x + 1 / (y + 1/z) = 8/3.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
Задание 28
Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел ab, bc, cd, da — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 27. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?
Задание 29
В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 17 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3.5, а если поставит 7 пятёрок, то средний балл повысится до 4.5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?
Задание 30
Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 9.
Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 36, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 80.
Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 36, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 80.
Задание 31
Сколькими способами отрезок длины 49 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?
Задание 32
В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 48 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 6 минут позже Пети. В итоге они встретились через 15 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
