Реальные задания и ответы школьного этапа Сириус ВсОШ по предмету Математика. Регион: Группа 4. Олимпиада проходит для учеников 9 класса. Мы собрали для Вас каждое задание в одном месте и разобрали его, чтобы Вам не приходилось искать где-то ещё! Представленные материалы предназначены для проверки знаний, разбора ошибок и подготовки к следующим этапам олимпиады 2026-2027 учебного года.
К группе 4 относятся регионы: Алтайский край, Амурская область, Еврейская автономная область, Забайкальский край, Иркутская область, Камчатский край, Кемеровская область — Кузбасс, Красноярский край, Магаданская область, Новосибирская область, Приморский край, Республика Алтай, Республика Бурятия, Республика Саха (Якутия), Республика Тыва, Республика Хакасия, Сахалинская область, Томская область, Хабаровский край, Чукотский автономный округ.
Задание 1
В гостиной находилось трое детей. Когда мама зашла в гостиную, средний возраст присутствующих в гостиной увеличился в 7/4 раза. Во сколько раз по отношению к начальному изменится средний возраст присутствующих, если в гостиную войдёт и папа? Известно, что они с мамой ровесники. Ответ выразите в виде обыкновенной несократимой дроби.
Задание 2
В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 12 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях и встретились через 6 минут. Через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
Задание 3
В числителе и знаменателе дроби — двузначные числа без нулевых цифр. Известно, что дробь сохранит своё значение, если пары цифр и в числителе, и в знаменателе поменять местами (например, 36/48 = 63/84).
Найдите произведение этих четырёх цифр, если известно, что это произведение больше 100 из начинается с цифр 25.
Найдите произведение этих четырёх цифр, если известно, что это произведение больше 100 из начинается с цифр 25.
Задание 4
В остроугольном треугольнике расстояния от точки пересечения высот до двух вершин, а также до соединяющей эти вершины стороны равны 5, √73 и 3 соответственно.
Найдите площадь этого треугольника.
Найдите площадь этого треугольника.
Задание 5
Даны квадратные трёхчлены f1 = ax^2 + bx + c, f2 = bx^2 + cx + a, f3 = cx^2 + ax + b.
Найдите сумму корней трёхчлена f3, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f1 к отрицательному корню трёхчлена f2 равно 20/81 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Найдите сумму корней трёхчлена f3, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f1 к отрицательному корню трёхчлена f2 равно 20/81 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задание 6
Дана клетчатая доска 102 × 105, размер каждой клетки 1 × 1. Для каждой клетки А посчитали количество клеток Б, отличных от клетки А, таких, что расстояние между центрами клеток А и Б не больше 2. Это число будем называть индексом клетки А. На доске выделили максимальное по количеству клеток множество М клеток, произведение индексов которых — степень нечётного простого числа. Сколько клеток содержит множество М?
Задание 7
В треугольнике ABC (BC > AB) проведена биссектриса BL. Пусть D — точка, симметричная точке A относительно прямой BL. Прямая, проходящая через точку D параллельно BL, пересекает сторону AC в точке E.
Найдите отношение AB : BC, если CE : EA = 1 : 6.
Найдите отношение AB : BC, если CE : EA = 1 : 6.
Задание 8
В спортивный лагерь приехали на отдых 155 школьников. Школьники A и B считаются приятелями, если они лично знают друг друга либо если найдутся такие школьники C1, C2, …, Ck, что A знает C1, C1 знает C2, …, Ck знает B. Известно, что в лагере среди любых 8 школьников имеется пара приятелей. Требуется сформировать команду из N школьников так, чтобы любые двое в ней оказались приятелями. Для каких N это гарантированно можно сделать? Выберите все подходящие варианты:
19
20
23
25
26
27
28
19
20
23
25
26
27
28
Задание 9
В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 6 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях и встретились через 3 минуты. Через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
Задание 10
В числителе и знаменателе дроби — двузначные числа без нулевых цифр. Известно, что дробь сохранит своё значение, если пары цифр и в числителе, и в знаменателе поменять местами (например, 36/48 = 63/84).
Найдите произведение этих четырёх цифр, если известно, что это произведение больше 100 из начинается с цифр 78.
Найдите произведение этих четырёх цифр, если известно, что это произведение больше 100 из начинается с цифр 78.
Задание 11
В остроугольном треугольнике расстояния от точки пересечения высот до двух вершин, а также до соединяющей эти вершины стороны равны 13, √34 и 5 соответственно.
Найдите площадь этого треугольника.
Найдите площадь этого треугольника.
Задание 12
В треугольнике ABC (BC > AB) проведена биссектриса BL. Пусть D — точка, симметричная точке A относительно прямой BL. Прямая, проходящая через точку D параллельно BL, пересекает сторону AC в точке E.
Найдите отношение AB : BC, если CE : EA = 1 : 10.
Найдите отношение AB : BC, если CE : EA = 1 : 10.
Задание 13
В гостиной находилось трое детей. Когда мама зашла в гостиную, средний возраст присутствующих в гостиной увеличился в 14/9 раза. Во сколько раз по отношению к начальному изменится средний возраст присутствующих, если в гостиную войдёт и папа? Известно, что они с мамой ровесники. Ответ выразите в виде обыкновенной несократимой дроби.
Задание 14
В остроугольном треугольнике расстояния от точки пересечения высот до двух вершин, а также до соединяющей эти вершины стороны равны 5, 3√5 и 3 соответственно.
Найдите площадь этого треугольника.
Найдите площадь этого треугольника.
Задание 15
Даны квадратные трёхчлены f1 = ax^2 + bx + c, f2 = bx^2 + cx + a, f3 = cx^2 + ax + b.
Найдите сумму корней трёхчлена f3, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f1 к отрицательному корню трёхчлена f2 равно 6/25 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Найдите сумму корней трёхчлена f3, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f1 к отрицательному корню трёхчлена f2 равно 6/25 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задание 16
Дана клетчатая доска 101 × 102, размер каждой клетки 1 × 1. Для каждой клетки А посчитали количество клеток Б, отличных от клетки А, таких, что расстояние между центрами клеток А и Б не больше 2. Это число будем называть индексом клетки А. На доске выделили максимальное по количеству клеток множество М клеток, произведение индексов которых — степень нечётного простого числа. Сколько клеток содержит множество М?
Задание 17
В спортивный лагерь приехали на отдых 134 школьника. Школьники A и B считаются приятелями, если они лично знают друг друга либо если найдутся такие школьники C1, C2, …, Ck, что A знает C1, C1 знает C2, …, Ck знает B. Известно, что в лагере среди любых 8 школьников имеется пара приятелей. Требуется сформировать команду из N школьников так, чтобы любые двое в ней оказались приятелями. Для каких N это гарантированно можно сделать? Выберите все подходящие варианты:
16
19
20
23
25
26
27
16
19
20
23
25
26
27
Задание 18
В числителе и знаменателе дроби — двузначные числа без нулевых цифр. Известно, что дробь сохранит своё значение, если пары цифр и в числителе, и в знаменателе поменять местами (например, 36/48 = 63/84).
Найдите произведение этих четырёх цифр, если известно, что это произведение больше 100 из начинается с цифр 57.
Найдите произведение этих четырёх цифр, если известно, что это произведение больше 100 из начинается с цифр 57.
Задание 19
В остроугольном треугольнике расстояния от точки пересечения высот до двух вершин, а также до соединяющей эти вершины стороны равны 13, √89 и 5 соответственно.
Найдите площадь этого треугольника.
Найдите площадь этого треугольника.
Задание 20
Даны квадратные трёхчлены f1 = ax^2 + bx + c, f2 = bx^2 + cx + a, f3 = cx^2 + ax + b.
Найдите сумму корней трёхчлена f3, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f1 к отрицательному корню трёхчлена f2 равно 12/49 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Найдите сумму корней трёхчлена f3, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f1 к отрицательному корню трёхчлена f2 равно 12/49 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задание 21
Дана клетчатая доска 103 × 101, размер каждой клетки 1 × 1. Для каждой клетки А посчитали количество клеток Б, отличных от клетки А, таких, что расстояние между центрами клеток А и Б не больше 2. Это число будем называть индексом клетки А. На доске выделили максимальное по количеству клеток множество М клеток, произведение индексов которых — степень нечётного простого числа. Сколько клеток содержит множество М?
Задание 22
В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 20 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях и встретились через 15 минут. Через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
Задание 23
Даны квадратные трёхчлены f1 = ax^2 + bx + c, f2 = bx^2 + cx + a, f3 = cx^2 + ax + b.
Найдите сумму корней трёхчлена f3, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f1 к отрицательному корню трёхчлена f2 равно 2/9 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Найдите сумму корней трёхчлена f3, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f1 к отрицательному корню трёхчлена f2 равно 2/9 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задание 24
В спортивный лагерь приехали на отдых 148 школьников. Школьники A и B считаются приятелями, если они лично знают друг друга либо если найдутся такие школьники C1, C2, …, Ck, что A знает C1, C1 знает C2, …, Ck знает B. Известно, что в лагере среди любых 8 школьников имеется пара приятелей. Требуется сформировать команду из N школьников так, чтобы любые двое в ней оказались приятелями. Для каких N это гарантированно можно сделать? Выберите все подходящие варианты:
19
20
22
23
24
25
26
19
20
22
23
24
25
26
Задание 25
В гостиной находилось трое детей. Когда мама зашла в гостиную, средний возраст присутствующих в гостиной увеличился в 12/7 раза. Во сколько раз по отношению к начальному изменится средний возраст присутствующих, если в гостиную войдёт и папа? Известно, что они с мамой ровесники. Ответ выразите в виде обыкновенной несократимой дроби.
Задание 26
В числителе и знаменателе дроби — двузначные числа без нулевых цифр. Известно, что дробь сохранит своё значение, если пары цифр и в числителе, и в знаменателе поменять местами (например, 36/48 = 63/84).
Найдите произведение этих четырёх цифр, если известно, что это произведение больше 100 из начинается с цифр 32.
Найдите произведение этих четырёх цифр, если известно, что это произведение больше 100 из начинается с цифр 32.
Задание 27
Дана клетчатая доска 101 × 104, размер каждой клетки 1 × 1. Для каждой клетки А посчитали количество клеток Б, отличных от клетки А, таких, что расстояние между центрами клеток А и Б не больше 2. Это число будем называть индексом клетки А. На доске выделили максимальное по количеству клеток множество М клеток, произведение индексов которых — степень нечётного простого числа. Сколько клеток содержит множество М?
Задание 28
В треугольнике ABC (BC > AB) проведена биссектриса BL. Пусть D — точка, симметричная точке A относительно прямой BL. Прямая, проходящая через точку D параллельно BL, пересекает сторону AC в точке E.
Найдите отношение AB : BC, если CE : EA = 1 : 8.
Найдите отношение AB : BC, если CE : EA = 1 : 8.
Задание 29
В спортивный лагерь приехали на отдых 127 школьников. Школьники A и B считаются приятелями, если они лично знают друг друга либо если найдутся такие школьники C1, C2, …, Ck, что A знает C1, C1 знает C2, …, Ck знает B. Известно, что в лагере среди любых 8 школьников имеется пара приятелей. Требуется сформировать команду из N школьников так, чтобы любые двое в ней оказались приятелями. Для каких N это гарантированно можно сделать? Выберите все подходящие варианты:
17
18
19
21
22
23
24
17
18
19
21
22
23
24
Задание 30
В гостиной находилось трое детей. Когда мама зашла в гостиную, средний возраст присутствующих в гостиной увеличился в 11/6 раза. Во сколько раз по отношению к начальному изменится средний возраст присутствующих, если в гостиную войдёт и папа? Известно, что они с мамой ровесники. Ответ выразите в виде обыкновенной несократимой дроби.
Задание 31
В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 12 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях и встретились через 3 минуты. Через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
Задание 32
В треугольнике ABC (BC > AB) проведена биссектриса BL. Пусть D — точка, симметричная точке A относительно прямой BL. Прямая, проходящая через точку D параллельно BL, пересекает сторону AC в точке E.
Найдите отношение AB : BC, если CE : EA = 1 : 4.
Найдите отношение AB : BC, если CE : EA = 1 : 4.
