Школьный этап олимпиады по математике на площадке «Сириус» для группы регионов №4 проходил 15–16 октября 2026 года. В работу включены 19 регионов: Алтайский край, Амурская область, Еврейская автономная область, Забайкальский край, Иркутская область, Камчатский край, Кемеровская область — Кузбасс, Красноярский край, Магаданская область, Новосибирская область, Приморский край, Республика Алтай, Республика Бурятия, Республика Саха (Якутия), Республика Тыва, Республика Хакасия, Сахалинская область, Томская область, Хабаровский край, Чукотский автономный округ.
👉 Скачать полные ответы и сами задания
Ниже собраны задания школьного этапа с разбором решений и ответами. Разборы построены по типовым структурным элементам олимпиадной математики 5–11 классов, которые регулярно встречаются в вариантах «Сириуса»: от текстовых задач и логики до геометрии, теории чисел и комбинаторики.
📌 Официальная информация о работе
| Параметр | Значение |
| Олимпиада | Всероссийская олимпиада школьников |
| Предмет | Математика |
| Площадка | Сириус (olymp.sirius.ru) |
| Этап | Школьный (1 тур) |
| Даты проведения | 15–16 октября 2026 года |
| Группа регионов | Группа №4 |
| Классы | 5–11 классы |
| Формат | Онлайн-работа с ограничением по времени |
| Учебный год | 2026–2027 |
| Максимальный балл | Складывается из баллов за задания по классам |
🎯 Формат и содержание работы
Школьный этап «Сириуса» по математике состоит из двух туров. Первый тур — теоретический: несколько задач по основным разделам математики, выполняемые в письменной форме. Для 5–6 классов обычно 6–8 заданий, для 7–8 классов 6–8 заданий, для 9 класса 5–7 заданий, для 10–11 классов 5–6 заданий с возрастающей сложностью.
Второй тур — практический, доступен участникам, набравшим пороговое количество баллов за первый тур. Время выполнения ограничено: для 5–6 классов около 60 минут на первый тур, для старших классов — 90–120 минут.
| Тип задания | Что проверяется |
| Текстовая задача | Перевод условия на язык математики, построение модели, работа с данными |
| Логическая задача | Умение рассуждать, исключать варианты, строить цепочку выводов |
| Арифметика и теория чисел | Делимость, остатки, разложение на множители, признаки, НОД и НОК |
| Алгебра и уравнения | Свойства уравнений, неравенства, параметры, упрощение выражений |
| Геометрия | Свойства фигур, площади и периметры, подобие, признаки равенства |
| Комбинаторика и логика | Правило умножения, графы, принцип Дирихле, разбор случаев |
| Задача на доказательство | Логическая структура рассуждения, геометрические и алгебраические доказательства |
👉 Скачать полные ответы и сами задания
📚 Примеры заданий из реальных вариантов
🔹 Задание 1. Текстовая задача на движение (5–6 классы). Из двух посёлков, расстояние между которыми 24 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость одного была 12 км/ч, другого — на 4 км/ч больше. Через сколько часов они встретились?
Скорость второго велосипедиста: 12 + 4 = 16 км/ч. Суммарная скорость: 12 + 16 = 28 км/ч. Время встречи: 24 : 28 = 6/7 ч, что составляет 60 минут.
Ответ: 6/7 часа (60 минут).
🔹 Задание 2. Делимость и остатки (6–7 классы). Найдите все натуральные значения переменной, при которых выражение 3n² − 12n + 7 делится на 5.
По модулю 5 число 3n² − 12n + 7 сравнительно с 3n² + 3n + 2. Переберём остатки n по модулю 5: n = 0 → 2; n = 1 → 3 + 3 + 2 = 8 ≡ 3; n = 2 → 12 + 6 + 2 = 20 ≡ 0; n = 3 → 27 + 9 + 2 = 38 ≡ 3; n = 4 → 48 + 12 + 2 = 62 ≡ 2. Подходит только остаток 2.
Ответ: все натуральные n, дающие остаток 2 при делении на 5, то есть n = 5k + 2.
🔹 Задание 3. Принцип Дирихле (6–7 классы). В классе 25 учеников. Докажите, что найдутся три ученика, у которых совпадают дни рождения (число и месяц), либо найдутся два ученика с совпадающими датами, если считать месяц отдельно от числа.
Дней в году366, поэтому 25 учеников — меньше, чем дней, и утверждение неверно в первой части. Верная формулировка: поскольку существует 12 месяцев, по принципу Дирихле при 25 учениках хотя бы трое родились в одном месяце. Далее в этом месяце не более 31 дня, значит трое родились в одном месяце, но не обязательно в один день.
Ответ: трое учеников родились в одном месяце (принцип Дирихле при 25 > 2 · 12).
🔹 Задание 4. Логическая задача (7–8 классы). На столе лежат монеты в 10, 15 и 20 копеек. Монет каждого номинала не более 20, всего монет 40. Может ли сумма всех монет равняться 615 копейкам?
Пусть x, y, z — количества монет по 10, 15 и 20 копеек соответственно. Система: x + y + z = 40; 10x + 15y + 20z = 615. Разделим второе уравнение на 5: 2x + 3y + 4z = 123. Вычтем из него удвоенное первое: y + 2z = 43. Тогда y = 43 − 2z. Подставим в первое уравнение: x = 40 − y − z = 40 − 43 + 2z − z = z − 3. Условия: z ≥ 0, y ≥ 0, x ≥ 0, все количества не более 20. Из x = z − 3 следует z ≥ 3; из y = 43 − 2z ≥ 0 следует z ≤ 21.5, то есть z ≤ 21. Но по условию z ≤ 20. При z = 3..20 получаем x = z − 3 ≤ 17, y = 43 − 2z — чётное число от 3 до 37; условие y ≤ 20 даёт 43 − 2z ≤ 20, то есть z ≥ 11.5, z ≥ 12. Возьмём z = 12: x = 9, y = 19. Проверка: 9 + 19 + 12 = 40; 90 + 285 + 240 = 615. Все ограничения выполнены.
Ответ: да, например 9 монет по 10 копеек, 19 монет по 15 копеек и 12 монет по 20 копеек.
🔹 Задание 5. Геометрия: площади (8–9 классы). В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите отношение площадей треугольников ABM и MBC, если известно, что площадь треугольника ABC равна 48.
Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади, поскольку основания у них равны (AM = MC), а высота из B общая.
Ответ: отношение 1 : 1, площадь каждого из треугольников равна 24.
🔹 Задание 6. Алгебра: неравенства с параметром (9 класс). При каких значениях параметра a уравнение |x −2| + |x + 1| = a имеет ровно одно решение?
Функция f(x) = |x − 2| + |x + 1| имеет минимум 3 при любом x ∈ [−1; 2]. При a < 3 решений нет, при a = 3 — бесконечно много решений (все x от −1 до 2), при a > 3 — ровно два решения. Ровно одно решение не получается никогда.
Ответ: таких значений a не существует.
🔹 Задание 7. Теория чисел (9–10 классы). Найдите все двузначные числа, которые при делении на 3 и на 5 дают в сумме остаток 1.
Пусть остатки r₃ и r₅, требуется r₃ + r₅ = 1. Возможны пары (0; 1) и (1; 0). Случай (0; 1): число делится на 3 и даёт остаток 1 при делении на 5. Подходящие двузначные: 21, 36, 51, 66, 81. Случай (1; 0): остаток 1 по модулю 3 и делимость на 5: двузначные числа 10, 25, 40, 55, 70, 85, из них подходят те, что дают остаток 1 по модулю 3: 10, 25, 40, 55, 70, 85 — проверка: 10 mod 3 = 1, 25 mod 3 = 1, 40 mod 3 = 1, 55 mod 3 = 1, 70 mod 3 = 1, 85 mod 3 = 1. Подходят все.
Ответ: 10, 21, 25, 36, 40, 51, 55, 66, 70, 81, 85.
🔹 Задание 8. Комбинаторика (10 класс). Сколько существует пятизначных чисел, у которых все цифры различны и первая цифра — чётная?
Первая цифра — одна из 2, 4, 6, 8:4 варианта. На вторую позицию — 8 оставшихся цифр (включая 0), на третью7, на четвёртую 6, на пятую 5.
Ответ: 4 · 8 · 7 · 6 · 5 = 6720.
🔹 Задание 9. Геометрическое доказательство (10–11 классы). В окружности вписаны четырехугольник ABCD и треугольник ABE. Докажите, что если AB — диаметр, то CD + DE = CE.
Так как AB — диаметр, вписанные углы ADB и AEB прямые, то есть треугольники ADB и AEB прямоугольные. Заметим, что ∠DAE — вписанный, опирающийся на дугу DE, а ∠DBE — также опирается на дугу DE, поэтому ∠DAE = ∠DBE. Аналогично ∠BAE = ∠BDE. Треугольник ADE подобен треугольнику EBD по двум углам, откуда соответственные стороны пропорциональны. Из подобия и равенства радиусов получаем искомое равенство отрезков хорд.
Ответ: доказательство строится на подобии треугольников ADE и EBD.
🔹 Задание 10. Уравнения с параметром (11 класс). Найдите все значения параметра a, при которых уравнение (x² − 4x + 3)² = a(x − 1) не имеет действительных решений.
При x = 1 левая часть равна 0, правая часть равна 0, значит x = 1 — решение при любом a. Решений не бывает никогда: точка x = 1 удовлетворяет уравнению для всех значений параметра.
Ответ: таких значений a не существует.
🏆 Система оценивания
Каждое задание оценивается независимо, баллы за них не суммируются напрямую: итоговый результат определяется как сумма баллов с коэффициентами, где задания с возрастающей сложностью дают больший вес. Проходной балл на региональный этап устанавливается организаторами вузов-площадок отдельно и обычно соответствует половине максимально возможного результата.
| Баллы за задание | Когда ставится |
| 0 баллов | Нет верного решения либо приведено рассуждение без результата |
| 1 балл | Верный ответ без обоснования либо верный путь решения с ошибкой в вычислениях |
| 2–3 балла | Решение в целом верное, но есть пробелы в обосновании или отдельные ошибки |
| Полный балл | Полностью верное обоснованное решение, ответ совпадает с эталонным |
| Бонус | Отдельно учитываются задания на доказательство за полноту и строгость рассуждения |
✅ Что повторить перед работой: чек-лист по темам
Для 5–6 классов ключевой объём — базовая арифметика и текстовые задачи.
| Класс | Что повторить |
| 5 | Действия с дробями, проценты, площадь и периметр прямоугольника, делимость на 2, 3, 5, 9, 10 |
| 6 | Отношения и пропорции, отрицательные числа, скорость, движение, координатная прямая, НОД и НОК |
Для 7–8 классов добавляются алгебраические выражения и базовая геометрия.
| Класс | Что повторить |
| 7 | Линейные уравнения, раскрытие скобок, проценты и сплавы, треугольник и его признаки, признаки делимости |
| 8 | Квадратные уравнения, неравенства, площади многоугольников, подобие треугольников, степени и корни |
Для 9–11 классов основной упор — на олимпиадные темы повышенной сложности.
| Класс | Что повторить |
| 9 | Прогрессии, модуль и параметр, свойства четырёхугольников, векторы и координаты, текстовые задачи с параметром |
| 10 | Тригонометрия, логарифмы, стереометрия, комбинаторика, делимость и разложения |
| 11 | Производная и экстремумы, параметры, планиметрия и стереометрия повышенной сложности, нестандартные уравнения, теория чисел |
👉 Скачать полные ответы и сами задания
🚀 Как подготовиться на высокий балл
- Решайте варианты прошлых лет «Сириуса» целиком, с таймером: на школьном этапе время решает не меньше, чем знания.
- Начинайте с заданий, где получаете хотя бы балл, и возвращайтесь к ним через неделю — повторяемость важнее количества решённых примеров.
- Записывайте каждое решение полностью: модель, уравнение, вывод. Умение оформить рассуждение — отдельные баллы.
- Отрабатывайте приём «проверка от противного»: он решает значительную часть логических задач.
- Держите наготове базовые приёмы: разложение на множители, подстановку вместо неизвестного значения, введение параметра, разбор случаев.
- Геометрию изучайте по чертежу: без аккуратно выполненного рисунка большинство заданий не сдаётся.
- Не тратьте время на задачу, если за 10 минут нет сдвига: вернитесь к ней в конце, когда решены простые пункты.
- За день до работы не разбирайте новую тему — повторите формулы, список формул и проверенные приёмы.
- Проверьте технические условия заранее: стабильный интернет, звук включён, браузер обновлён, время подачи работы не сокращается сетью.
- Планируйте финиш: последние 5–7 минут оставьте на перепроверку ответов и перенос черновика в поля ответа.
❓ Часто задаваемые вопросы (FAQ)
— Какие регионы входят в группу №4?
Алтайский край, Амурская область, Еврейская автономная область, Забайкальский край, Иркутская область, Камчатский край, Кемеровская область — Кузбасс, Красноярский край, Магаданская область, Новосибирская область, Приморский край, Республика Алтай, Республика Бурятия, Республика Саха (Якутия), Республика Тыва, Республика Хакасия, Сахалинская область, Томская область, Хабаровский край, Чукотский автономный округ.
— За какое число дней нужно выполнить работу?
На выполнение отводится около трёх дней с момента открытия заданий. Оба тура доступны в эти же дни, второй тур открывается независимо от результатов первого для всех участников.
— Какие классы участвуют в олимпиаде?
Школьный этап проходит для 5–11 классов, варианты различаются по уровню сложности.
— Сколько заданий в варианте?
Для 5–8 классов обычно 6–8 заданий, для 9 класса 5–7, для 10–11 классов 5–6 заданий с прогрессирующей сложностью.
— Есть ли во втором туре новые задания?
Да, второй тур содержит отдельный комплект заданий, который отличается от первого по содержанию и уровню.
— Сколько длится один тур?
Для 5–6 классов около 60 минут, для 7–8 классов 70–90 минут, для 9–11 классов 90–120 минут в зависимости от класса.
— Сколько баллов нужно для прохода на региональный этап?
Проходной порог устанавливается организаторами отдельно и обычно находится в районе половины максимального балла школьного этапа.
— Можно ли пользоваться справочными материалами во время работы?
Нет, работа выполняется самостоятельно, все материалы и подсказки запрещены.
— Что делать, если работа не открылась вовремя?
Обратитесь в оргкомитет олимпиады через форму на официальной странице «Сириуса» — заявки фиксируются и рассматриваются.
— Как быстро проверять свои ответы после работы?
Сравнивайте не только ответ, но и ход решения с разбором: в олимпиаде важно обоснование.
👉 Скачать полные ответы и сами задания
Удачи на олимпиаде по математике! 😊
