В ресторане грузинской кухни подавались хинкали с говядиной, с бараниной и с сыром. Внешний вид у них одинаковый. Чтобы их различать, повара обозначали баранину горизонтальным надрезом, говядину — двумя перпендикулярными надрезами. Хинкали с сыром никакого разреза не имели. Камера со встроенным искусственным интеллектом определяла количество хинкали каждого вида, отпускаемых с кухни, по форме надреза. В меню были добавлены хинкали с грибами, но новой формы надреза для них задано не было, поэтому повара никакого разреза на таких хинкали не делали, а остальные виды помечали так, как и прежде. Согласно данным с камеры, за день с кухни поступило поровну хинкали с говядиной, с бараниной и с сыром. Известно, что на самом деле хинкали с грибами в тот день было приготовлено на 20 больше, чем с сыром, и на 32 меньше, чем с бараниной. Сколько было приготовлено хинкали с говядиной?

Рассмотрим следующий алгоритм определения вида треугольника в соответствии со значениями его углов. Если в треугольнике есть две равные стороны, алгоритм возвращает результат ОСТРОУГОЛЬНЫЙ. В противном случае, если угол напротив наибольшей стороны тупой, алгоритм выдаёт результат ТУПОУГОЛЬНЫЙ, если угол напротив неё прямой — результат ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ, если угол напротив неё острый — результат ОСТРОУГОЛЬНЫЙ.

На доске нарисовали по одному треугольнику каждого возможного вида: наибольшая сторона каждого треугольника равна 1, а величина каждого угла выражается целым числом градусов (то есть никакие два нарисованных треугольника не равны, при этом на доске нельзя нарисовать ещё один треугольник, чтобы это свойство сохранялось). Для скольких из этих треугольников приведённый алгоритм выдаёт неверный ответ?

Модель искусственного интеллекта ищет животных на изображении. Для каждой рамки модель указывает вид животного и уверенность в своём ответе. Чем больше процент, тем сильнее модель уверена в ответе.
Некоторые рамки могут быть лишними: например, модель может несколько раз найти одно животное или принять за животное другой объект. Для обработки рамок выбран порог уверенности T и используется следующий алгоритм:
1. Удалить все рамки с уверенностью меньше T.
2. Рассмотреть оставшиеся рамки по убыванию уверенности.
3. Сохранить текущую рамку и удалить все рамки с меньшей уверенностью, которые окружают тот же объект.
4. Перейти к следующей неудалённой рамке и повторить шаг 3. Продолжать, пока не будут рассмотрены все рамки.

На изображении выделены следующие рамки:
1. Кошка: 94 %
2. Кошка: 84 %
3. Собака: 89 %
4. Собака: 73 %
5. Медведь: 79 %
6. Попугай: 68 %
7. Кошка: 82 %
8. Собака: 65 %
9. Кролик: 61 %

После выполнения алгоритма специалист проверяет оставшиеся рамки. Рамка считается правильной, если внутри неё находится ровно одно животное и его вид указан верно. Любая другая рамка считается ложной. Животное считается найденным, если вокруг него осталась правильная рамка.

Какие рамки останутся после выполнения алгоритма при T = 60 %?
1: Кошка: 94 %
2: Кошка: 84 %
3: Собака: 89 %
4: Собака: 73 %
5: Медведь: 79 %
6: Попугай: 68 %
7: Кошка: 82 %
8: Собака: 65 %
9: Кролик: 61 %

Заполните таблицу:
Порог T | Найдено настоящих животных | Осталось ложных рамок
60 % | [число] | [число]
70 % | [число] | [число]
80 % | [число] | [число]
90 % | [число] | [число]

За каждое ненайденное настоящее животное начисляется 3 штрафных балла, а за каждую оставшуюся ложную рамку — 2 штрафных балла.

Определите суммарный штраф для каждого из четырёх порогов:
Порог T | Суммарный штраф
60 % | [число]
70 % | [число]
80 % | [число]
90 % | [число]

Выберите порог с наименьшим штрафом:
60 %
70 %
80 %
90 %

Пусть теперь за каждое ненайденное настоящее животное начисляется x штрафных баллов, а за каждую оставшуюся ложную рамку — по-прежнему 2 штрафных балла. Известно, что x — положительное целое число. При каких значениях x порог 80 % будет единственным порогом (среди представленных в таблице) с наименьшим суммарным штрафом? Если подходящих значений x нет, запишите -1.

Модель искусственного интеллекта определяет, является ли сообщение в рабочем чате важным. У сообщения три признака:
• A — есть ссылка;
• B — есть слово «срочно»;
• C — сообщение отправлено ночью.

Значение «нет» обозначим числом 0, а «да» — числом 1. Например, строка 100 означает: ссылка есть, слова «срочно» нет, сообщение отправлено не ночью.
Модель обучили на 20 сообщениях: 8 важных и 12 неважных. В таблице указано, у скольких сообщений каждого класса признак равен 1.

Признак | Важные (8) | Неважные (12)
A — есть ссылка | 6 | 3
B — есть слово «срочно» | 6 | 4
C — отправлено ночью | 2 | 9

Для каждого из двух классов модель вычисляет оценку. Она перемножает долю сообщений этого класса среди всех 20 сообщений и три доли сообщений класса, у которых значения признаков A, B и C совпадают со значениями в сообщении abc.
Например, для важного сообщения с a = 1 множитель, соответствующий признаку A, равен 6/8, а при a = 0 он равен 2/8. Оценку класса K будем обозначать через S_K. Модель выбирает класс с большей оценкой. При равенстве она выбирает «неважное». Другие сведения о сообщении модель не использует.

Какой ответ даст модель для сообщения 100?
Важное
Неважное

В каждом из этих утверждений изменяется только названный признак, остальные сохраняются. Выберите верные утверждения:
— Добавление ссылки не может изменить ответ «важное» на «неважное»
— Добавление слова «срочно» обязательно изменяет ответ «неважное» на «важное»
— Изменение времени отправки с «не ночью» на «ночью» не может изменить ответ «неважное» на «важное»
— Удаление ссылки обязательно изменяет ответ «важное» на «неважное»
— Если сообщение отправлено не ночью, то добавление слова «срочно» к сообщению без этого слова делает ответ модели «важным»
— Если сообщение отправлено ночью, то добавление ссылки к сообщению без ссылки делает ответ модели «важным»

Всего существует восемь наборов abc. Для скольких исходных наборов ответ модели изменится, если заменить только c на противоположное значение: 0 на 1 или 1 на 0? Каждый исходный набор считается отдельно.

Датчик температуры сделал 9 измерений:
9, 14, 12, 0, 2, 14, 10, 19, 21.

Известно, что ровно два измерения оказались ошибочными из-за сбоя датчика, но какие именно — неизвестно.
Размахом результатов измерений называется разность между наибольшим и наименьшим значениями. Какой наименьший размах могли иметь семь верных измерений?

Бабушка надвое сказала

Ограничение по времени: 2 секунды
Ограничение по памяти: 256 мегабайт

Ваня коллекционирует наклейки. На каждой наклейке написан номер — целое число от 1 до 1000, и наклейки с одинаковыми номерами считаются одинаковыми. Ваня коллекционирует наклейки в альбомах. Всего у Вани 8 альбомов. В k-м альбоме у Вани n_k наклеек, номера у наклеек могут повторяться.
Ваня достаёт из альбома две наклейки с различных позиций, без учёта порядка. И Ване кажется, что одинаковые наклейки попадаются ему подозрительно часто.
Помогите Ване проверить догадку: для каждого альбома определите, верно ли, что две одинаковые наклейки получаются хотя бы в половине всех способов. Иными словами, если выбирать пару позиций равновероятно, вероятность вытащить одинаковые наклейки должна быть не меньше 1/2.

Формат входных данных
В первой строке ввода дано одно целое число t — количество наборов входных данных (t = 8).
Далее следуют описания наборов входных данных (каждый набор описывает один альбом).
В первой строке каждого набора дано одно целое число n_k — количество наклеек в альбоме (2 <= n_k <= 10^5).
Во второй строке через пробел перечислены n_k целых чисел a_i — номера наклеек (1 <= a_i <= 1000). Формат выходных данных
Для каждого набора выведите в отдельной строке «YES», если при равновероятном выборе пары позиций Ваня достанет одинаковые наклейки с вероятностью не меньше 1/2, и «NO» в противном случае.

Система оценивания
Тесты из условия не оцениваются. Остальные тесты оцениваются независимо друг от друга, каждый — в 1 балл.

Группа | Тестов | Баллы | Дополнительные ограничения
1 | 5 | 5 | n <= 2000 во всех наборах
2 | 7 | 7 | Без дополнительных ограничений

Пример
Ввод:
8
4
1 2 1 1
5
3 3 1 1 2
3
4 4 4
2
7 7
2
7 8
6
1 1 1 1 2 3
6
5 5 5 5 5 9
7
2 2 2 2 2 1 3

Вывод:
YES
NO
YES
YES
NO
NO
YES
NO