Олимпиада ИКС по искусственному интеллекту проводится не первый год. Каждый год число участников этой олимпиады растёт на 101. Если сложить количество участников всех прошедших олимпиад ИКС, получится 600. Сколько участников было на первой олимпиаде?

В хоре поют три мальчика и три девочки. Рассмотрим все возможные способы этим шестерым выстроиться в ряд. Назовём способ удачным, если какие-то два мальчика или какие-то две девочки стоят рядом. Какую долю от общего числа способов составляют удачные? Ответ выразите в процентах.

На фотографиях десяти посылок изображены четырёхсимвольные коды. Модель искусственного интеллекта пытается прочитать каждый код и выражает уверенность в своём ответе в процентах. Чем больше процент, тем сильнее модель уверена в ответе.

Коды на посылках:
№ 1: A507
№ 2: B318
№ 3: K064
№ 4: M821
№ 5: T450
№ 6: P196
№ 7: C732
№ 8: H085
№ 9: R604
№ 10: X219

Таблица ответов модели:
№ | Ответ модели | Уверенность
1 | A507 | 83 %
2 | B318 | 95 %
3 | K064 | 74 %
4 | M82I | 86 %
5 | T450 | 60 %
6 | P196 | 92 %
7 | C73Z | 77 %
8 | H085 | 81 %
9 | R6O4 | 68 %
10 | X219 | 89 %

Буква O и цифра 0 — разные символы; буква I и цифра 1 — тоже разные символы.
Для автоматической обработки выбран порог уверенности T. Если уверенность модели не меньше T, её ответ принимается автоматически. Если уверенность меньше T, фотографию отправляют сотруднику, который всегда читает код правильно.
Рассматриваются пороги 60 %, 70 %, 80 % и 90 %.

На каких фотографиях модель прочитала код неправильно?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Заполните таблицу:
Порог T | Принято автоматически | Отправлено сотруднику | Автоматически принято неверных кодов
60 %
70 %
80 %
90 %

Проверка одной фотографии сотрудником стоит 1 условную единицу, а автоматически принятый неверный код — 3 условные единицы. Для каждого порога определите общие затраты.

Порог T | Общие затраты
60 %
70 %
80 %
90 %

Выберите порог с наименьшими затратами:
60 %
70 %
80 %
90 %

Теперь автоматически принятый неверный код стоит 5 условных единиц, а ручная проверка по-прежнему стоит 1 условную единицу. Выберите порог с наименьшими затратами:
60 %
70 %
80 %
90 %

Чему равны затраты?

Модель искусственного интеллекта строит строку из букв А, Б и В. Первая буква всегда А. Затем модель дописывает по одной букве, пока не получится строка заданной длины. Вероятность выбора каждой следующей буквы зависит только от последней написанной буквы. В таблице заданы веса переходов. Чтобы получить вероятность перехода, нужно разделить его вес на сумму весов в соответствующей строке. Все три суммы равны 12.

Таблица весов переходов:
Последняя буква | Следующая А | Следующая Б | Следующая В
А | 0 | 4 | 8
Б | 9 | 2 | 1
В | 6 | 5 | 1

Вероятность получить заданную строку равна произведению вероятностей переходов между соседними буквами. Например,
P(АВБ) = 8/12 · 5/12 = 5/18.
Строка из одной буквы А имеет вероятность 1.
Программист предложил способ выбора строки: начиная с А, каждый раз дописывать букву с наибольшей вероятностью перехода из последней буквы. Назовём этот способ жадным. В каждой строке таблицы наибольший вес единственный, поэтому способ однозначно задаёт строку любой длины.

Найдите вероятность строки АБВ. Запишите несократимую дробь.

Какую строку длины 5 выберет жадный способ? Запишите строку.

Запишите вероятность получить её при генерации моделью. Ответ выразите несократимой дробью.

Найдите наименьшую длину, для которой строка, выбранная жадным способом, не является самой вероятной среди строк этой длины.

Запишите самую вероятную строку этой длины.

Запишите её вероятность в виде несократимой дроби.

Три ML-модели решают задачу детекции: для каждой из 10 картинок они определяют, есть ли на ней светофор.
Известно, что светофор присутствовал на всех картинках, однако каждая модель распознала его ровно в половине случаев — на 5 из 10 изображений.
Итоговый ответ по каждой картинке определяется голосованием большинства: он совпадает с ответом хотя бы двух моделей из трёх.
Какое максимальное число правильных итоговых ответов могло получиться?

Поиск похожих изображений

Ограничение по времени: 2 секунды
Ограничение по памяти: 256 мегабайт

Для поиска похожих изображений системы искусственного интеллекта часто используют эмбеддинги — числовые представления изображений. Чем ближе эмбеддинги двух изображений, тем более похожими система считает эти изображения.
В этой задаче эмбеддинг — одно число, принимающее только n значений, которые мы будем называть уровнями. Уровни пронумерованы от 1 до n, эмбеддинг на i-м уровне равен (i — 1) · L, то есть соседние уровни отстоят друг от друга на L. В базе на i-м уровне лежат a_i изображений.
Системе передают эталонное изображение, которого в базе нет. Известно, что его эмбеддинг находится на одном из крайних уровней — 1 или n, но на каком именно, неизвестно. Изображение из базы считается похожим на эталонное, если расстояние между их эмбеддингами не превосходит d.
Сколько изображений из базы окажутся похожими на эталонное хотя бы при одном из двух возможных положений его эмбеддинга?

Формат входных данных
В первой строке ввода даны три целых числа n, L и d — количество уровней, расстояние между соседними уровнями и наибольшее расстояние, при котором изображения считаются похожими (2 <= n <= 2 · 10^5; 1 <= L <= 100; 0 <= d <= 10^9).
Во второй строке через пробел перечислены n целых чисел a_i — количество изображений на i-м уровне (1 <= a_i <= 1000). Формат выходных данных
Выведите одно целое число — количество изображений из базы, похожих на эталонное хотя бы в одном из его положений.

Система оценивания
Оценивание потестовое: в задаче есть 12 тестов, помимо тестов из условия, каждый из них оценивается в 1 балл.

Замечание
В первом примере соседние уровни отстоят друг от друга на 5, а d = 12, поэтому от уровня эталона можно отойти не более чем на два уровня.
Если эталон находится на уровне 1, подходят изображения с уровней 1, 2 и 3.
Если на уровне 7 — с уровней 5, 6 и 7. Уровень 4 отстоит от обоих крайних уровней на 15, поэтому изображения с него не подходят.
Всего подходящих изображений 3 + 1 + 4 + 5 + 9 + 2 = 24.

Примеры

Пример 1
Ввод:
7 5 12
3 1 4 1 5 9 2
Вывод:
24

Пример 2
Ввод:
4 10 100
7 7 7 7
Вывод:
28

Пример 3
Ввод:
3 4 3
5 100 6
Вывод:
11